Source: https://math.temple.edu/~reich/Fib/fibo.html
Редослед Фибоначијев показује одређену бројчану образац који потиче као одговор на вежбе у првом икада средњој школи алгебре текста. Овај образац се испоставило да имају интерес и значај далеко изнад онога што његов творац замислио. Може се користити за моделирање или описати невероватну разноврсност феномена, у математици и науци, уметности и природе. Математички идеја, Фибоначијев низ води, као што златног пресека, спирала и самоуправама сличних криве, већ дуго цењени за свој шарм и лепоту, али нико не може стварно објаснити зашто су поновили тако јасно у свету уметности и природа.
Прича је почела у Пизи, Италија у години 1202. Леонардо Писано Биголло је младић у својим двадесетим, члан важног трговачког породице у Пизи. У својим путовањима широм Блиског истока, био је опчињен математичке идеје које су западно дошли из Индије преко арапских земаља. Када се вратио у Пизи је објавио ове идеје у књизи о математике која се зове Либер Абаци , који је постао обележје у Европи. Леонардо, који је у међувремену постао познат као Фибонацци , постао је најпознатији математичар у средњем веку. Његова књига је дискурс о математичких метода у трговини, али се сада сетио углавном за два рада, један очигледно важан у времену и један наизглед безначајан.
Веома важан: он скренута пажња Европе хинду систем за бројеве писања. Европски трговци и научници су још увек се држе на коришћење старих римских бројева; модерне математике не би било могуће без ове промене у Хинду систему, који сад зовемо арапски нотацију, јер запад је у арапским земљама.
Други: скривено у листу можданих теасерс, Фибоначијев поставила следеће питање:
Ако пар зечева се налази у затвореном простору, колико зечеви ће бити рођена тамо, ако претпоставимо да сваког месеца пар зечева производи још један пар, и да зечеви почели да носе млади два месеца након њиховог рођења?
Ова наизглед невина мала питање је као одговор на одређени низ бројева, сада познат као Фибоначијевог секвенца , која је испоставило да је један од најзанимљивијих икада написано. Она је открила у невероватном различитим облицима, у гранама математике превазилази простом математиком. Његов метод развоја довела је до далекосежне апликације из математике и рачунарских сциенце.Бут још фасцинира је изненађујуће појава Фибонацци бројева, и њихових релативних односа, у аренама далеко од логичке структуре математике: у природи и уметности , у класичним теоријама лепоте и пропорције.
Размотрите елементарни пример геометријског раста – бесполног размножавања, као што је она амеба. Сваки организам дели на два дела после интервала од сазревања времена карактеристика врсте. Овај интервал се разликује насумично али у одређеном опсегу према спољашњим условима, као што су температура, доступност хранљивих материја итд. Можемо замислити поједностављени модел где, под идеалним условима, све амебе подељени по истом временском периоду раста.
Дакле, једна амеба постаје два, два постали 4, затим 8, 16, 32, и тако даље.
Ми смо добили дуплирањем секвенцу. Приметите рекурзивни формулу:
Аn = 2Аn
Ово наравно води експоненцијални раст, једна карактеристика шаблон прираштаја.
Сада у зеца ситуацији Фибонацци, постоји кашњење фактор; сваки пар захтева мало времена да сазри. Дакле, ми претпостављамо
- сазревање и време = 1 месец
- трудноћа време = 1 месец
Ако сте били да пробам ово у дворишту, ево шта би се десило:
Сада се рачунар нацртати још неколико линија:
Образац видимо овде је да свака кохорта или генерација остаје као део другог, и поред тога, сваки одрасли пар доприноси беби пар. Број таквих бебе парова одговара укупан број парова у односу на претходну генерацију. симболично
fn = број парова током месец n
fn = fn-1 + fn-2
Тако да имамо рекурзивни формулу где је свака генерација дефинисано у смислу претходне две генерације. Користећи овај приступ, сукцесивно да израчунамо фн онолико генерације као што смо желели.
Дакле, ово низ бројева 1,1,2,3,5,8,13,21 … и рекурзивни начин да ад инфинитум изградњу, решење за Фибоначијев слагалице. Али оно што Фибоначијев није могао да предвиди је безброј апликација које би ови бројеви и овај метод на крају имају. Његова идеја је била више плодно од својих зечеве. Само у смислу чисте математике – теорије бројева, геометрије и тако даље – је обим Његова идеја је била толико велика да је цео стручни часопис је посвећен томе – Фибоначијевог квартално.
Сада ћемо да погледамо још један прилично природно ситуацији у којој исти секвенца “мистериозно” се појављује. Го бацк 350 година у 17. веку у Француској. Блез Паскал је млада Француз, научник који је растрзан између свог уживања у геометрије и математике и његовој љубави према религији и теологије. У једном од својих више световних тренутака он је консултовао пријатељ, професионални коцкар, Цхевалиер Де облачно, Антоан Гомбо. Цхевалиер поставља Пасцал нека питања у вези представе на коцке и картица, као ио правилном поделе улога у недовршене игре. Пасцал одговор је да измисле потпуно нову грану математике, теорије вероватноће. Ова теорија је порасла током година у витални алат 20. века за науку и друштвене науке. Пасцал рад се наслања ослања на колекцију бројева сада зову Пасцал троугао, и представља овако:
Ова конфигурација има много занимљивих и важне особине:
- Обратите пажњу лево-десно симетрију – то је његов властити одраз.
- Приметити да у сваком реду, други број рачуна на ред.
- Приметити да у сваком реду, 2. + 3. пребројава бројевима изнад те линије.
Постоји безброј варијација на ову тему.
Следеће, приметио шта се дешава када саберете бројеве у сваком реду – ми добијемо дуплирањем секвенцу.
Сада за визуелну удобност нацртати троугао лево-оправдано. Саберите бројеве на различитим дијагонала …
и добијамо 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,. . . Фибоначијев низ!
Фибоначијев није могао да зна о вези између његових зечева и теорије вероватноће – теорија није постојала све до 400 година касније.
Оно што је заиста занимљиво о Фибоначијевог низу је да је његова образац раста на неки волшебан начин одговара снаге контролишу раст у великом броју природних динамичких система. Сасвим аналогно на репродукцију зечева, размотримо породично стабло пчела – тако да погледамо предака, а не потомака. У поједностављеном репродуктивног модела, а мале бее отворе из унфертилизед јајета и тако да има само једног родитеља, док је женска отворе из оплођене јајне ћелије, и има два родитеља. Овде је породично стабло типичне мушке пчеле:
Обратите пажњу да ово изгледа као зеца табели, али се креће уназад у времену. Мушки преци из сваке генерације образују Фибонацци секвенце, као и женске предака, као што то чини тотал. Можете видети од дрвета који пчела друштво жена доминирају.
Најпознатије и лепе примери појаве секвенце Фибоначијеви у природи налазе у различитим дрвећем и цвећем, генерално асоциатед неком врстом спиралне структуре. На пример, оставља на стаблу цвета или грану дрвета често расту у спиралном обрасцу, спирално ароунг гране као нови листови формирају даље се. Замислити: Имате филијалу у руци. Обратите пажњу на датом лист и почети да броји око и споља. Цоунт лишће, као и броји потеза око гране, док се не вратите у положај који одговара оригинални лист, али даље дуж гране. Оба бројеви ће бити Фибоначијеви бројеви.
На пример, за крушке ће бити 8 лишће и 3 кривина. Ево још неколико примера:
Гране Фибоначијев породице
Трее Леавес Турнс
Брест 2 1
Цхерри 3 2
Буква 3 1
Топола 5 2
Жалосна врба 8 3
Крушка 8 3
Бадем 13 8
Можете прошетати у парк и врло лако пронаћи овај образац о биљкама и жбуњу.
Многе цвеће нуде прекрасан потврду Фибоначијев мистике. Красуљак има централно језгро састоји од ситних цветова распоређених у супротстављању спирале. Ту су обично 21 иде на лево и 34 десно. Горниј Астер може имати 13 спирале на левој страни и 21. на десној страни. Сунцокрети су најспектакуларнији пример, типично има 55 спирала један начин а 89 у другој; или, у најбољим сорте, 89 и 144.
Бор шишарке су такође изграђена у спиралним начин, оне мале имају обично са 8 спирала један од начина и 13 осталих. Најзанимљивија је ананас – грађена од суседних хексагона, три врсте спирала се појављују у три димензије. Постоје 8 на десно, 13 на лево, и 21 вертикално – што је Фибонацци троструке.
Зашто би то било? Зашто је мајка природа пронашао еволуциони предност у организовању биљне структуре у спиралним облика излагања Фибоначијевог низа?
Немамо одређени одговор. Године 1875., математичар по имену Визнер под условом математички демонстрацију да је спирални распоред листова на грани у Фибонацци пропорцијама био ефикасан начин да се прикупе максималну количину сунчеве светлости са неколико листова – тврдио, на најбољи начин. Али недавно, Корнел Универзитет ботаничар по имену Карла, Никлас је одлучио да тестира ову хипотезу у својој лабораторији; Он је открио да је скоро сваки разуман договор листова има исту способност сунца прикупљања. Тако да смо још увек у мраку о светлости.
Али, ако мислимо у смислу природних образаца раста мислим да можемо почети да схватају присуство спирале и везу између спирала и Фибоначијевог низу.
Спирале настају из имовине раста који се зове себе сличност или скалирање – тенденција да расте у величини, али да се одржи исти облик. Нису сви организми расту у овом само-сличан начин. Видели смо да одрасле особе, на пример, нису само повећава се бебе: бебе имају веће главе, краће ноге, а дужи торзо у односу на њихову величину. Али ако погледамо на пример на шкољку Цхамберед наутилус видимо диффернет образац раста. Како је Наутилус прераста сваку комору, да гради нове коморе за себе, увек исти облик – ако замислите веома дуговечни Наутилус, његова љуска би спирално око и око, расте све већа, али увек у потрази исто на сваком нивоу.
Овде је место где Фибоначијев долази у – можемо изградити скуарисх врсту наутилус почевши са квадратом величине 1 и сукцесивно гради на новим просторијама чија величина одговара Фибоначијевог редоследу:
Пролази кроз центара квадрата у реду са глатком кривом добијамо наутилус спиралу = сунцокрет спирала.
Ово је посебан спирални, само-сличан крива која задржава свој облик на свим скалама (ако замислите да се спирално заувек). То се зове углове јер радијална линија од центра чини увек исти угао на криву. Ова крива је познато да Архимед античке Грчке, највећег геометар из давнина, а можда свих времена.
Требало би да заиста мислите о овом криве као спирално унутра заувек, као и споља. То је тешко извести; бисте могли да посматрате воде се врти око малог драинхоле, који улази у ближи јер спирале, али никада није опада у Овај ефекат се може илустровати другом класичне Мозгалице.:
Четири грешке стоје на четири угла квадрата. Они су гладни (или усамљени) и у истом тренутку сваки од њих види грешку у следећем углу изнад и почели пузи према њему. Шта се дешава?
Слика говори причу. Док су пузати једни према другима су спирално у центру, увек формирање икада мањи квадрат, окреће у круг заувек. Ипак стигну једни друге! То није парадокс јер је дужина овог спирале је коначна. Они траг од исте углове спиралу.
Сада пошто све ове спирале су себи слична они изгледају исто на свакој скали – скала није битно. Оно што је битно је пропорција – ови спирале имају фиксну проценат којим се утврђује свој облик. Испоставило се да ова пропорција је исти као и пропорција генерише сукцесивним уноса у Фибоначијевом секвенци: 5: 3, 8: 5,13: 8 и тако даље. Овде је обрачун:
Како идемо даље у секвенци, пропорције суседних термина почиње да приђе фиксну граничну вредност 1.618034. . . Ово је веома познат однос са дугом и почасног историје; Златни Средња вредност од Еуцлид и Аристотела, божанског удео Леонарда Да Винчија, сматра најлепшим и важна количина.Овај број има више тантализинг својства него што можете замислити.
Једноставном обрачун, видимо да ако одузмемо 1 добијамо .618. . што је његова узајамна. Ако томе додамо 1 добијамо 2.618. . . што је његов квадрат.
Користећи традиционални назив за овог броја, грчког слова ф ( “пхи”) можемо писати симболично:
Решавање овог квадратну једначину добијамо
Ево још неких чудних али фасцинантна изрази који се могу изведени:
, Бескрајни каскада квадратних корена.
, Бескрајни каскада фракција.
Користећи ову златни пресек као темељ, можемо изградити експлицитно формулу за Фибоначијеви бројеви:
Формула за Фибоначијеви бројеви:
Али Грци су имали више визуелни гледиште о златно јаје. Питали су: шта је најприроднији и добро пропорционалан начин да поделите линију у 2 комада? Назвали су ово поглавље . Грци осетили снажно да је идеална треба да одговара однос између делова са тим делова у целини. То доводи до пропорцији тачно ф .
Формирање правоугаоник са деловима линије као бочно резултата у визуелно пријатном облику који је био основа њихове уметности и архитектуре. Овај естетски је усвојен од стране великих ренесансни уметници у свом сликарству, и још увек је са нама данас.
Дан Рајх
Департмент оф Матхематицс, Темпле Университи Пресс